|
|
Экономико-математические методы
Экономико-математические методы
7 Контрольная работа по курсу «Экономико-математические методы»Вариант 0Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.Таблица 2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг|
№ варианта | Среднесуточный удой, кг | Потребность в | | | | кормовых единицах, кг | переваримом протеине, г | | 0 | 12 | 10,3 | 1136 | | |
Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.Таблица 3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов|
Показатель | Комбикорм | Сено | Силос | | Кормовые единицы, кг | 1 | 0,5 | 0,2 | | Переваримый протеин, г | 160 | 60 | 30 | | Себестоимость 1 кг корма, руб. | 4,2 | 0,9 | 0,6 | | |
Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)Таблица 4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в корм. ед.|
№ варианта | Концентрированные корма, не менее | № варианта | Грубые корма, не более | | 0 | 26% | 0 | 21% | | |
Составить рацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу вручную симплексным методом.Решение:Выразим все условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х1 - искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 - сена (кг) и через х3 - силоса (кг).Составим систему ограничений:1) условие по содержанию кормовых единиц в рационе:1*х1+0,5*х2+0,2*х310,32) условие по содержанию переваримого протеина в рационе:160*х1+60*х2+30*х311363) условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):1*х12,6784) условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):0,5*х22,163Целевая функция - минимум себестоимости рациона:Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3minПерейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,32) 160*х1+60*х2+30*х3-х5=11363) 1*х1-х6=2,6784) 0,5*х2+х7=2,163Целевая функция - минимум себестоимости рациона:Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7minДополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:х4 - количество кормовых единиц сверх минимума, кгх5 - количество переваримого протеина сверх минимума, гх6 - количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.х7 - разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,32) 160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=11363) 1*х1-х6+у3=2,6784) 0,5*х2+х7=2,163Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3minF=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:1) у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)2) у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)3) у3=2,678-(1*х1-1*х6)4) х7=2,163-(0,5*х2)Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) minF=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0Заполним симплексную таблицу 1:|
i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | bi/aij | | 1 | y1 | 10,300 | 1,000 | 0,500 | 0,200 | -1,000 | 0,000 | 0,000 | 10,300 | | 2 | y2 | 1136,000 | 160,000 | 60,000 | 30,000 | 0,000 | -1,000 | 0,000 | 7,100 | | 3 | y3 | 2,678 | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | -1,000 | 2,678 | | 4 | x7 | 2,163 | 0,000 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | - | | m+1 | Z | 0,000 | -4,200 | -0,900 | -0,600 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | X | | m+2 | F | 1151,141M | 157,8M | 60,1M | 29,6M | -M | -M | -M | x | | |
1. Разрешающий столбец - х1.2. Разрешающая строка - у3.3. Заполняется симплексная таблица 2.3.1. Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.3.2. Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:1/1=13.3. Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей: 2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1157,8М/(-1)=157,8М3.4. Расчет остальных элементов таблицы:Столбца bi:10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;Столбца х2:0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на 0,000без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.Расчет элементов столбца х6:0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000; 0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.Аналогично составляем симплексную таблицу 2:|
i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | bi/aij | | 1 | y1 | 7,622 | -1,000 | 0,500 | 0,200 | -1,000 | 0,000 | 1,000 | 7,622 | | 2 | y2 | 707,520 | -160,000 | 60,000 | 30,000 | 0,000 | -1,000 | 160,000 | 4,422 | | 3 | x1 | 2,678 | -1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | -1,000 | -2,678 | | 4 | x7 | 2,163 | 0,000 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | - | | m+1 | Z | 11,248 | -4,200 | -0,900 | -0,600 | 0,000 | 0,000 | -4,200 | X | | m+2 | F | 728,552М | -157,8M | 60,1M | 29,6M | -M | -M | 156,8М | x | | |
Симплексная таблица 3:|
i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | x2 | x3 | x4 | x5 | y2 | bi/aij | | 1 | y1 | -152,378 | | -159,500 | -159,800 | -161,000 | -160,000 | | 0,955 | | 2 | x6 | 4,422 | | 0,375 | 0,188 | 0,000 | -0,006 | | 11,792 | | 3 | x1 | 162,678 | | 160,000 | 160,000 | 160,000 | 160,000 | | 1,017 | | 4 | x7 | 2,163 | | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | | 4,326 | | m+1 | Z | 683,248 | | 671,100 | 671,400 | 672,000 | 672,000 | | X | | m+2 | F | -24359,448M | | 60,1M | -25058,4M | -25089M | -25089M | | x | | |
Симплексная таблица 4:|
i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | х7 | x3 | x4 | x5 | y2 | bi/aij | | 1 | y1 | -153,460 | | -319,000 | -159,800 | -161,000 | -160,000 | | 0,960 | | 2 | x6 | 3,341 | | 0,750 | 0,188 | 0,000 | -0,006 | | -0,021 | | 3 | x1 | 1,082 | | 320,000 | 160,000 | 160,000 | 160,000 | | -0,007 | | 4 | х2 | 4,326 | | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | | -0,006 | | m+1 | Z | 682,167 | | 1342,200 | 671,400 | 672,000 | 672,000 | | -4,269 | | m+2 | F | -243360,53М | | 120,2М | 160,4M | -25089M | -25089M | | x | | |
Симплексная таблица 5:|
i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | х7 | у1 | x4 | x5 | y2 | bi/aij | | 1 | х3 | 27,295 | | -319,000 | 1,000 | -1,200 | -25728,000 | | - | | 2 | x6 | -0,986 | | 0,750 | -0,001 | 0,000 | -25568,006 | | - | | 3 | x1 | 2,678 | | 320,000 | -1,001 | -25567,800 | -25408,000 | | - | | 4 | х2 | 4,326 | | 1,000 | 0,000 | 0,000 | -25568,000 | | - | | m+1 | Z | 677,841 | | 1342,200 | -4,202 | -25055,800 | -24896,000 | | х | | m+2 | F | 0М | | 0М | 0M | 0M | 0M | | x | | |
Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб. Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти 4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл. 6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.Таблица 5. Количество зеленой массы с полей, т|
№ варианта | Поле | | | 1-е | 2-е | 3-е | 4-е | 5-е | | 0 | 800 | 1000 | 1200 | 400 | 600 | | |
Таблица 6. Потребность ферм в зеленой массе, т|
№ варианта | Ферма | | | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | | 0 | 1000 | 600 | 800 | 1600 | | |
Таблица 7. Расстояние от полей до ферм, км|
Поля | Ферма | | | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | | 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | | 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | | 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | | 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | | 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | | |
Составить такой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется решить задачу методом потенциалов.Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом «наилучшего» элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1|
Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Ui | | | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | | | | 1-е | 5 | 6 | 2- | 2- | | 0 | | | | | 400 | 400 | 800 | | | 2-е | 9- | 7 | 4+ | 6+ | | 5 | | | 1000 | | | | 1000 | | | 3-е | 7+ | 1 | 4 | 5 | | 3 | | | | 600 | | 600 | 1200 | | | 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | | 0 | | | | | 400- | | 400 | | | 5-е | 6 | 4 | 3 | 4- | | 2 | | | | | | 600 | 600 | | | Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 4000 | Z | | Vj | 4 | -2 | 2 | 2 | | 17400 | | |
Переходим к анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.Проверим, является ли план оптимальным. Если нет - улучшим его.1. Рассчитаем значения потенциалов:u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=22. Рассчитаем характеристики для свободных клеток:|
d | 1 | 2 | 3 | 4 | | 1 | 5 | 8 | 0 | 0 | | 2 | 0 | 4 | -1 | -1 | | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 4 | 1 | 4 | 0 | 2 | | 5 | 0 | 4 | -1 | 0 | | |
3. Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.|
Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Ui | | | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | | | | 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | | 0 | | | | | 44 | 756 | 800 | | | 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | | 5 | | | | | 756 | 244 | 1000 | | | 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | | 3 | | | 400 | 600 | | 200 | 1200 | | | 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | | 0 | | | 400 | | | | 400 | | | 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | | 2 | | | 200 | | | 400 | 600 | | | Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 4000 | Z | | Vj | 6 | -2 | 2 | 2 | | 15288 | | |
Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2Перераспределяем по цепи поставку 400. Строим таблицу 3.|
Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Ui | | | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | | | | 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | | 0 | | | 0 | 0 | 44 | 756 | 800 | | | 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | | 3 | | | 0 | 0 | 756 | 244 | 1000 | | | 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | | 1 | | | 0 | 600 | 0 | 600 | 1200 | | | 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | | 1 | | | 400 | 0 | 0 | 0 | 400 | | | 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | | 2 | | | 600 | 0 | 0 | 0 | 600 | | | Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 4000 | Z | | Vj | 6 | 0 | 1 | 2 | | 15288 | | |
Анализ решения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километровРешение методом линейного прораммирования:1. Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов: С полей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массыПотребность ферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей.2. Пусть Xij - количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем ограничения:х11+х12+х13+х14=800х21+х22+х23+х24=1000х31+х32+х33+х34=1200х41+х42+х43+х44=400х51+х52+х53+х54=600Из условия потребностей ферм:х11+х21+х31+х41+х51=1000х12+х22+х32+х42+х52=600х13+х23+х33+х43+х53=800х14+х24+х34+х44+х54=1600Целевая функция задачи - количество тонна-километров:Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+6*х51+4*х52+3*х53+4*х54minРешим систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате выполнения программы, получаем решение:|
Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Сумма | | | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | | | | 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | | | | | 0 | 0 | 44 | 756 | 800 | 800 | | 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | | | | | 0 | 0 | 756 | 244 | 1000 | 1000 | | 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | | | | | 0 | 600 | 0 | 600 | 1200 | 1200 | | 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | | | | | 400 | 0 | 0 | 0 | 400 | 400 | | 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | | | | | 600 | 0 | 0 | 0 | 600 | 600 | | Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | | Z | | Сумма | 1000 | 600 | 800 | 1600 | | 15288 | | |
Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров.
|
 |
