|
|
Группировочные (факторные) и результативные признаки. Размах и коэффициент вариации
Группировочные (факторные) и результативные признаки. Размах и коэффициент вариации
Задание 1Сгруппируйте 30 совхозов по факторному признаку, образовав 5 - 6 групп с равными интервалами. Сделайте выводы относительно наличия (или отсутствия) связи между группировочным (факторным) и результативным признаком.РешениеГруппировка является основой научной сводки и обработки статистических данных. Группировочный (факторный) признак в нашем примере - среднегодовая стоимость основных фондов сельскохозяйственного назначения, млн. руб., результативный признак - выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. Исходные данные представлены в табл. 1.Таблица 1 - Основные показатели работы совхозов|
| № п/п | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. | № п/п | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. | | 1 | 7,1 | 24,6 | 16 | 6,6 | 16,3 | | 2 | 5,8 | 14,1 | 17 | 6,9 | 22,0 | | 3 | 4,2 | 12,2 | 18 | 6,5 | 26,7 | | 4 | 7,0 | 13,5 | 19 | 6,8 | 20,9 | | 5 | 6,6 | 14,2 | 20 | 7,2 | 23,6 | | 6 | 11,0 | 30,9 | 21 | 10,5 | 40,5 | | 7 | 6,9 | 21,8 | 22 | 10,6 | 33,6 | | 8 | 6,7 | 16,3 | 23 | 6,8 | 23,5 | | 9 | 4,6 | 17,0 | 24 | 6,8 | 25,7 | | 10 | 6,9 | 24,8 | 25 | 6,5 | 22,5 | | 11 | 6,1 | 20,2 | 26 | 7,0 | 20,5 | | 12 | 6,6 | 12,5 | 27 | 4,7 | 12,5 | | 13 | 6,9 | 17,5 | 28 | 7,9 | 32,3 | | 14 | 7,2 | 24,6 | 29 | 4,2 | 13,9 | | 15 | 5,8 | 16,2 | 30 | 3,3 | 6,6 | | |
Количество групп принимаем = 5 групп.Необходимо определить интервалы группировки и их величины.Величина интервала определяется по формуле:i = , (1)где хmax - максимальное значение группировочного признака;xmin - минимальное значение группировочного признака;n - число намечаемых групп.Величина интервала составит:i = млн. руб.После расчета шага интервала распределим все предприятия в рабочей таблице (табл. 2). После построим аналитическую таблицу (табл. 3).Таблица 2 - Рабочая таблица|
Номер группы | Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов | Порядковые номера совхозов | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. | | 1 | 3,3 - 4,84 | 3,9,27,29,30 | 21,0 | 62,2 | | 2 | 4,84 - 6,38 | 2,11,15 | 17,7 | 50,5 | | 3 | 6,38 - 7,92 | 1,4,5,7,8,10,12,13,14,16,17,18,19,20,23,24,25,26, 28 | 130,9 | 403,8 | | 4 | 7,92 - 9,46 | - | - | - | | 5 | 9,46 - 11,0 | 6,21,22 | 32,1 | 105,0 | | |
Таблица 3 - Аналитическая таблица|
Номер группы | Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов | Число совхозов | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. | | | | | Всего | На 1 совхоз | Всего | На 1 совхоз | | 1 | 3,3 - 4,84 | 5 | 21,0 | 4,2 | 62,2 | 12,4 | | 2 | 4,84 - 6,38 | 3 | 17,7 | 5,9 | 50,5 | 16,8 | | 3 | 6,38 - 7,92 | 19 | 130,9 | 6,9 | 403,8 | 21,2 | | 4 | 7,92 - 9,46 | 0 | - | - | - | - | | 5 | 9,46 - 11,0 | 3 | 32,1 | 10,7 | 105,0 | 35,0 | | ИТОГО: | - | 30 | 201,7 | - | 621,5 | - | | |
Изучив данные 30-ти совхозов о среднегодовой стоимости основных фондов и величине выручки от реализации всей продукции совхоза, можно сказать, что между этими показателями существует зависимость и она прямая, так как с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет величина выручки от реализации всей продукции совхоза.Задание 2Используя, данные задачи 1, рассчитайте:1. По факторному признаку - размах вариации и коэффициент вариации;2. По результативному признаку - коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.РешениеРазмах вариации (или размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = хmax - xmin (2)R = 11,0 - 3,3 = 7,7 млн. руб.Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах: (3)где д - среднее квадратическое отклонение;- средняя величина.Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу (табл. 4).Таблица 4 - Вспомогательная таблица|
Группы предприятий по стоимости среднегодовой стоимости основных фондов | Число совхозов f | Расчетные показатели | | | | Середина интервала , млн. р. | , млн.р. | х-, млн.р. | (х-)2f, млн. р. | | 3,3 - 4,84 | 5 | 4,07 | 20,35 | -2,72 | 36,99 | | 4,84 - 6,38 | 3 | 5,61 | 16,83 | -1,18 | 4,18 | | 6,38 - 7,92 | 19 | 7,15 | 135,85 | 0,36 | 2,46 | | 7,92 - 9,46 | 0 | 8,69 | 0 | 1,9 | 0 | | 9,46 - 11,0 | 3 | 10,23 | 30,69 | 3,44 | 35,50 | | ИТОГО: | 30 | ? | 203,72 | ? | 79,13 | | |
Среднюю величину среднегодовой стоимости основных фондов определим по формуле средней арифметической взвешенной:, (4) где х - варианта или значение признака;f - частота повторения индивидуального значения признака (его вес).Средняя величина составит: млн. руб.Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле: (5)Среднее квадратическое отклонение составит: млн. руб.Коэффициент вариации составит:Таким образом, коэффициент вариации меньше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность однородна.Коэффициент детерминации и корреляционное отношение рассчитываются на основании проведенной группировки в задаче 1 по результативному признаку (величине выручки от реализации всей продукции совхоза).Коэффициент детерминации определяется по следующей формуле:, (6)где - межгрупповая дисперсия;- общая дисперсия.Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки: , (7) Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности. (8) где - среднее значение результативного признака в группе; fi - объем группы (число совхозов в группе); - среднее значение результативного признака для всей совокупности. Оценить тесноту связи можно по величине эмпирического корреляционного отношения, используя формулу (9) Эмпирическое корреляционное отношение изменяется , - при отсутствии связи, - при функциональной зависимости. Средняя величина выручки от реализации всей продукции совхоза составит: млн. руб. Составим вспомогательную таблицу 5. Таблица 5 - Вспомогательная таблица |
№ группы | Число совхозов f | Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. | Среднее значение выручки от реализации всей продукции совхоза | ()2 | ? | (?)2f | | 1 | 5 | 62,2 | 12,4 | 399,9 | -8,32 | 346,1 | | 2 | 3 | 50,5 | 16,8 | 64,5 | -3,92 | 46,1 | | 3 | 19 | 403,8 | 21,2 | 470,1 | 0,48 | 4,4 | | 4 | 0 | - | - | - | - | - | | 5 | 3 | 105,0 | 35,0 | 660,7 | 14,28 | 611,7 | | ИТОГО: | 30 | 621,5 | - | 1595,2 | - | 1008,3 | | |
Межгрупповая дисперсия составит: Общая дисперсия составит: Коэффициент детерминации составит: или 10,53% Коэффициент детерминации показывает, что выручка от реализации продукции совхозов на 10,53% зависит от среднегодовой стоимости основных фондов и на 89,47% от других факторов. Эмпирическое корреляционное отношение составит: Корреляционное отношение показывает, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и величиной выручки от реализации продукции совхозов не тесная. Задание 3С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки и интервал, в котором находится генеральная средняя факторного признака. При этом выборочная совокупность (30 совхозов) составляет 2% от объема генеральной, и была получена механическим способом отбора.РешениеПредельная ошибка выборки определяется по формуле:, (10)где t - коэффициент доверия, t=3 при (Р) 0,997.у2 - дисперсия факторного признака;n - объем выборочной совокупности;N - объем генеральной совокупности;- удельный вес объема выборочной совокупности в генеральной.Так как выборочная совокупность составляет 2% от объема генеральной, то объем генеральной совокупности будет равен 1500 совхозов.Дисперсия среднегодовой стоимости основных фондов составляет 2,64 млн. руб. (см. задачу 2).Тогда предельная ошибка выборки составит:Для определения интервальной оценки генеральной средней используется формула:, (11)где - среднее значение факторного признака в генеральной совокупности;- среднее значение факторного признака выборочной совокупности (средняя по 30 совхозам).Средняя среднегодовая стоимость основных фондов по 30 совхозам составляет 6,79 млн. руб. (см. задачу 2).6,79 - 0,44??6,79+0,446,35??7,23Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных фондов в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 6,35 до 7,23 млн. рублей.Задание 4Проведите корреляционно-регрессионный анализ по исходным данным задачи 1 (используете линейную модель).РешениеПри линейной связи регрессионная модель описывается функцией вида: , (12)где а0 и а1 - параметры уравнения регрессии, которые рассчитываются из системы нормальных уравнений.Найдем параметры а0 и а1, решив систему уравнений:Составим вспомогательную таблицу (табл. 6).Таблица 6 - Вспомогательная таблица|
x | y | x2 | xy | y2 | | | 7,1 | 24,6 | 50,41 | 174,66 | 605,16 | 15,05 | | 5,8 | 14,1 | 33,64 | 81,78 | 198,81 | 43,82 | | 4,2 | 12,2 | 17,64 | 51,24 | 148,84 | 73,79 | | 7,0 | 13,5 | 49,0 | 94,5 | 182,25 | 52,13 | | 6,6 | 14,2 | 43,56 | 93,72 | 201,64 | 43,43 | | 11,0 | 30,9 | 121,0 | 339,9 | 954,81 | 103,63 | | 6,9 | 21,8 | 47,61 | 150,42 | 475,24 | 1,17 | | 6,7 | 16,3 | 44,89 | 109,21 | 265,69 | 19,54 | | 4,6 | 17,0 | 21,16 | 78,2 | 289,0 | 13,84 | | 6,9 | 24,8 | 47,61 | 171,12 | 615,04 | 16,65 | | 6,1 | 20,2 | 37,21 | 123,22 | 408,04 | 0,27 | | 6,6 | 12,5 | 43,56 | 82,5 | 156,25 | 67,57 | | 6,9 | 17,5 | 47,61 | 120,75 | 306,25 | 10,37 | | 7,2 | 24,6 | 51,84 | 177,12 | 605,16 | 15,05 | | 5,8 | 16,2 | 33,64 | 93,96 | 262,44 | 20,43 | | 6,6 | 16,3 | 43,56 | 107,58 | 265,69 | 19,54 | | 6,9 | 22,0 | 47,61 | 151,8 | 484,0 | 1,64 | | 6,5 | 26,7 | 42,25 | 173,55 | 712,89 | 35,76 | | 6,8 | 20,9 | 46,24 | 142,12 | 436,81 | 0,03 | | 7,2 | 23,6 | 51,84 | 169,92 | 556,96 | 8,29 | | 10,5 | 40,5 | 110,25 | 425,25 | 1640,25 | 391,25 | | 10,6 | 33,6 | 112,36 | 356,16 | 1128,96 | 165,89 | | 6,8 | 23,5 | 46,24 | 159,8 | 552,25 | 7,73 | | 6,8 | 25,7 | 46,24 | 174,76 | 660,49 | 4,98 | | 6,5 | 22,5 | 42,25 | 146,25 | 506,25 | 3,17 | | 7,0 | 20,5 | 49,0 | 143,5 | 420,25 | 0,05 | | 4,7 | 12,5 | 22,09 | 58,75 | 156,25 | 67,57 | | 7,9 | 32,3 | 62,41 | 255,17 | 1043,29 | 134,10 | | 4,2 | 13,9 | 17,64 | 58,38 | 193,21 | 46,51 | | 3,3 | 6,6 | 10,89 | 21,78 | 43,56 | 199,37 | | У=201,7 | 621,5 | 1441,25 | 4487,07 | 14475,73 | 1582,62 | | |
Уравнение регрессии принимает следующий вид: Коэффициент регрессии (а1) имеет положительное значение, значит, между признаками существует прямая корреляционная зависимость. Уравнение показывает, что при снижении среднегодовой стоимости основных фондов величина выручки от реализации продукции в среднем изменяется на 3,62 млн. руб. Линейный коэффициент корреляции является показателем степени тесноты связи и определяется по формуле: , (13) где ух - среднеквадратическое отклонение по факторному признаку; уу - среднеквадратическое отклонение по результативному признаку. (14) Значение коэффициента корреляции изменяется от - 1до 1. При | r | >0,8 считают, что связь между признаками достаточно тесная. Среднеквадратическое отклонение по результативному признаку составит: Линейный коэффициент корреляции составит: Коэффициент линейной корреляции далек от единицы, значит, связь между признаками не достаточно тесная. Положительный знак указывает на прямую зависимость. Задание 5Рассчитайте производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.|
Номер цеха | Произведено продукции, тыс. руб. | Производительность труда одного рабочего, тыс. руб. | | 1 | 57,0 | 1,9 | | 2 | 46,0 | 2,0 | | 3 | 65,0 | 2,5 | | 4 | 70,0 | 2,8 | | |
РешениеСредняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.Так как в исходной информации задачи статистический вес (частота повторения признака) не задан в явной форме, а входит сомножителем в один из заданных показателей, то для расчета производительности труда одного рабочего в среднем по заводу будем использовать формулу средней гармонической взвешенной: (15)Таким образом, производительность труда одного рабочего в среднем по заводу составит: тыс. руб.Задание 6Задание состоит из двух задач. Для его выполнения изучите тему «Индексы».Задача 1. По данным своего варианта рассчитайте:? индекс товарооборота;? индекс цен;? индекс физического объема реализации товара;? экономию (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.|
Вид товара | Базисный период | Отчетный период | | | Цена за 1 кг, руб. | Реализовано, ц | Цена за 1 кг, руб. | Товарооборот, тыс. руб. | | А | 2,55 | 500 | 2,60 | 117,0 | | Б | 2,20 | 200 | 2,50 | 50,0 | | В | 3,50 | 1300 | 2,00 | 410,0 | | |
Решение1) Индекс товарооборота определяется по формуле: (16)Товарооборот в отчетном периоде снизился на 7,9% по сравнению с базисным периодом.2) Индекс цен определяется по формуле: (17)В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на три товара в среднем снизились на 34,15 %.3) Индекс физического объема реализации товаров определяется по формуле: (18)Количество проданного товара было в отчетном периоде больше, чем в базисном периоде на 40,09 % .4) экономия (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным составит:?(р1 - р0)*q1 = (0,260-0,255)*450,0+(0,250-0,220)*200,0+(0,200-0,350)*2050,0 = -299,25 руб.В результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным наблюдался перерасход денежных средств населения в размере 299,25 рублей.Задача 2. По данным своего варианта рассчитайте индексы цен переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Объясните, почему различаются индексы переменного и постоянного состава.|
Государственная торговля | Рынок | | Цена за 1 кг, руб. | Реализовано, т | Цена за 1 кг, руб. | Реализовано, т | | август | сентябрь | август | сентябрь | август | сентябрь | август | сентябрь | | 1,80 | 1,85 | 200 | 220 | 2,50 | 3,00 | 30 | 70 | | |
РешениеИндекс цен переменного состава определяется по формуле: (19) (^ 12,49%)Индекс цен постоянного состава определяется по формуле: (20) (^ 8,05%)Индекс цен структурных сдвигов определяется по формуле: (21) (^ 4,12%)Индекс переменного состава - это отношение двух взвешенных средних с меняющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой величины. Переменные весы - это количество реализованной продукции базисного и отчетного периода. А индекс постоянного состава - это отношение взвешенных средних с одними и теми же весами. Постоянные весы - это количество реализованной продукции отчетного периода.Задание 7По приведенным рядам динамики рассчитайте:? абсолютные приросты (цепные);? цепные темпы роста и прироста;? средний абсолютный прирост;? средний темп роста и прироста;? абсолютное значение одного процента прироста.Рассчитанные показатели предоставьте в таблице.Таблица 7 - Динамика производства нефти в России|
Год | Добыча нефти, млн. т | | 1985 | 490,8 | | 1986 | 519,7 | | 1987 | 545,8 | | 1988 | 571,5 | | 1989 | 585,6 | | 1990 | 603,2 | | 1991 | 608,8 | | 1992 | 612,6 | | 1993 | 616,3 | | 1994 | 612,7 | | 1995 | 595,0 | | 1996 | 615,0 | | 1997 | 624,0 | | 1998 | 624,0 | | 1999 | 607,0 | | |
Решение1) Абсолютный прирост цепной определяется по формуле:?ц =Yi - Yi-1, (22)где ?ц ? абсолютный прирост цепной;Yi ? уровень сравниваемого периода;Yi-1? уровень непосредственно предшествующего периода.?i 1986 = 519,7 - 490,8 = 28,9 млн. т?i 1987 = 545,8 - 519,7 = 26,1 млн. т ?i 1988 = 571,5 - 545,8 = 25,7 млн. тАбсолютные приросты цепные за остальные годы рассчитаны в таблице 8.Цепной темп роста (Тр) определяется по формуле:Трц =*100 (23) Цепные темпы роста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.Цепной темп прироста (Тпр) определяется по формуле:Тпр = Тр - 100% (24) Тпр1986 = 105,89 - 100 = 5,89%Тпр1987 = 105,89 - 100 = 5,89%Тпр1988 = 105,89 - 100 = 5,89%Цепные темпы прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.Средний уровень ряда динамики определяется по формуле:, (25)где n - число уровней ряда динамики. Средний абсолютный прирост определяется по формуле:, (26)где Уn - последний уровень ряда динамики;У1 - первый уровень ряда динамики;?ц - цепные абсолютные приросты.Средний темп роста определяется по формуле: (27)где Крц1, Крц2, Крцn-1 - цепные коэффициенты роста.или 101,53%Средний темп прироста определяется по формуле: (28) Абсолютное значение одного процента прироста определяется по формуле:, (29)А1986 = 0,01*490,8 = 4,91А1987 = 0,01*519,7 = 5,20А1988 = 0,01*545,8 = 5,46Абсолютные значения одного процента прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.Таблица 8 - Показатели динамики|
Годы | Добыча нефти, млн. т | Абсолютный прирост, млн. т | Темп роста, % | Темп прироста, % | Абсолютное значение прироста, % млн. т | | 1985 | 490,8 | - | - | - | - | | 1986 | 519,7 | 28,9 | 105,89 | 5,89 | 4,91 | | 1987 | 545,8 | 26,1 | 105,02 | 5,02 | 5,20 | | 1988 | 571,5 | 25,7 | 104,71 | 4,71 | 5,46 | | 1989 | 585,6 | 14,1 | 102,47 | 2,47 | 5,71 | | 1990 | 603,2 | 17,6 | 103,01 | 3,01 | 5,86 | | 1991 | 608,8 | 5,6 | 100,93 | 0,93 | 6,03 | | 1992 | 612,6 | 3,8 | 100,62 | 0,62 | 6,09 | | 1993 | 616,3 | 3,7 | 100,60 | 0,60 | 6,13 | | 1994 | 612,7 | -3,6 | 99,41 | -0,59 | 6,16 | | 1995 | 595,0 | -17,7 | 97,11 | -2,89 | 6,13 | | 1996 | 615,0 | 20,0 | 103,36 | 3,36 | 5,95 | | 1997 | 624,0 | 9,0 | 101,46 | 1,46 | 6,15 | | 1998 | 624,0 | 0,0 | 100,00 | 0,0 | 6,24 | | 1999 | 607,0 | -17,0 | 97,28 | -2,72 | 6,24 | | В среднем | 588,8 | 8,3 | 101,53 | 1,53 | - | | |
Список литературы1. Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 448 с.2. Едронова Н.Н. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 648 с.3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 368 с.4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. - М.: ИНФРА-М. 2000. - 414 с.5. Теория статистики / Под редакцией Громыко Г.Л. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 576 с.
|
 |
