Общая теория статистики

Общая теория статистики

Министерство образования и науки Украины

кафедра “Учет и аудит”

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Общая теория статистики

Харьков, 2008 г.

Имеются данные по заводам, изготавливающим одноименную продукцию (табл. 1)

Таблица 1.

Для выявления зависимости между объемом производства продукции и ее себестоимостью сгруппируйте заводы по объему производства, образовав 4 группы с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности заводов подсчитайте:

число заводов;

средний объем производства;

средний уровень себестоимости единицы продукции.

Результаты представьте в виде таблицы. Сделайте выводы.

Решение:

Определим величину интервала.

i = (Xmax - Xmin) / n , где

Хmax - максимальный объем производства;

Xmin - минимальный объем производства;

n - количество групп;

i = (18 - 2) / 4 = 4;

По каждой группе необходимо подсчитать количество заводов и оформить результаты в виде таблицы.

Таблица 1.2. Количество заводов по группам

Вычислим процент к итогу для каждой группы и занесем результаты в таблицу 2.

Для 1-й группы 5 / 22 * 100 = 22,7 %

Для 2-й группы 7 / 22 * 100 = 31,8 %

Для 3-й группы 6 / 22 * 100 = 27,3 %

Для 4-й группы 4 / 22 * 100 = 18,2 %.

Вывод: результаты группировки показывают, что более половины заводов, т.е. 59% имеют объем производства от 6 до 14 тыс. шт. Низкий процент заводов имеет объем производства до 6 тыс. шт. - 22,7%, и свыше 14 тыс. шт. - 18,2%.

2. По данным таблицы 1 для изучения зависимости между объемом производства и себестоимостью единицы продукции произведем группировку заводов по объему производства, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. Применяя метод группировок для взаимосвязи, необходимо прежде всего определить факторный признак, охватывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким факторным признаком является объем производства. По условию требуется выделить 4 группы заводов по объему производства с равными интервалами. В основание аналитической группировки возьмем те же группы.

Таблица 1.3. Сводная таблица данных по заводам

Определим средний объем производства:

СОПI = 18 / 5 = 3,6 тыс. шт.;

СОПII = 52 / 7 = 7,4 тыс. шт.;

СОПIII = 66 / 6 = 11 тыс. шт.;

СОПIV = 63 / 4 = 15,75 тыс. шт.;

СОП = 199 / 22 = 9 тыс. шт.;

Определим уровень себестоимости единицы продукции:

ССПI = 2020 / 5 = 404 грн.;

ССПII = 2410 / 7 = 344,3 грн.;

ССПIII = 1670 / 6 = 278,3 грн.;

ССПIV = 820 / 4 = 205 грн.;

ССП = 6920 / 22 = 314,5 грн.;

Групповые показатели заводов таблицы 1.3 и исчисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу 1.4.

Таблица 1.4. Результаты расчетов

Вывод: из таблицы 1.4, мы видим, что с увеличением объема производства себестоимость единицы продукции снижается, следовательно, можно предположить, что между изучаемыми признаками существует обратная зависимость.

Задача № 2

Данные об издержках производства и себестоимости изделия «В», выпускаемого однородными предприятиями, за I и II кварталы представлены в таблице 2.

Таблица 2

Определить среднюю себестоимость изделия «В» по всем заводам. Дать краткое обоснование применения соответствующих формул средних величин. Сделать краткие выводы.

Решение:

Определим среднюю себестоимость изделия «В» за I квартал. За I квартал статистическая информация содержит Хi - признак, fi - его частоту. Следовательно вычисления ведем, используя формулу среднеарифметической взвешенной.

Х = хi * f i / f i ,

где хi - себестоимость единицы продукции, гр.;

f i - издержки производства, тыс. гр.

Каждое значение признака называют вариантой (хi). Имеем ряд распределения, в котором одинаковые варианты объединены в группы и определены их частотой (f i), то есть числами, показывающими сколько раз встречается данная варианта в совокупности.

Х = (25857 * 50,7 + 4073,5 * 48,3 + 5450 * 49 + 10612 * 47,9) / (25857 + 4073,5 + 5450 + 10612) = 2283064,75 / 45992,5 = 49,6 гр.;

Определим среднюю себестоимость изделия «В» за II квартал. Статистическая информация не содержит частоты, а содержит (Хi * fi). Следовательно, вычисления ведем, используя формулу среднегармонической взвешенной.

Х = Мi / (М i / Хi) , где М i = Х i * f i

Х i - себестоимость единицы продукции, гр.;

М i - в данном случае количество продукции, тыс. шт..

Х = (550 + 10,8 + 120 + 235) / ((550 / 49,5) + (10,8 / 45,3) + (120 / 48,1) + (235 / 47,5)) = 915,8 / 18,79 = 48,7 гр.

Вывод: средняя себестоимость изделия «В» за II квартал ниже, чем средняя себестоимость изделия «В» за I квартал.

Задача №3.

Для изучения качества пряжи была проведена 2%-я механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты (таблица 3).

Таблица 3

На основе полученных данных вычислите: 1) по способу моментов: а) среднюю прочность нити; б) дисперсию и среднее квадратичное отклонение;

2) коэффициент вариации; 3) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых можно ожидать среднюю крепость нити по всей партии пряжи.

Решение:

1. Для определения средней прочности нити по способу моментов воспользуемся следующей формулой:

Х = m1 * i + A, где

m1 - момент первого порядка;

Х - варианта;

i - величина интервала;

f - частота;

А - постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака;

m1 = (((X - A) / i)) * f) / f;

X = ((((X - A) / i)) * f) / f) * i + A;

i = 20;

В вариационных рядах с равными интервалами в качестве А принимается варианта ряда с наибольшей частотой: А = 210;

Таблица 3.1

= 100 = -10

m1 = (((X - A) / i)) * f) / f = -10 / 100 = -0,1;

Х = m1 * i + A = -0,1 * 20 + 210 = 208 г.

Определим дисперсию способом моментов:

2 = i2 * (m2 - m12);

m1 = (((X - A) / i)) * f) / f;

m2 = (((X - A) / i)2) * f) / f;

m1 = -0.1;

m2 = 118 / 100 = 1.18;

2 = 202 * (1,18 - (-0,1)2) = 468;

Определим среднее квадратичное отклонение:

= v2 = 21,6;

3. Отношение среднего квадратичного отклонения к средней называют квадратичным коэффициентом вариации:

V = ( / X ) * 100 %;

V = (21,6 / 208) * 100% = 10,38%;

4. Предельная ошибка выборки средней вычисляется по формуле:

х = t * 2 / n ,

где n - объем выбранной совокупности, n = 100;

2 - дисперсия;

t - коэффициент доверия (табличное значение для вероятности 0,997 соответствует t = 3);

Х = 3 * 468 / 100 = 6,49 г.

тогда: 208 - 6,49 < Х < 208 + 6,49

201,51 < Х < 214,49

Для бесповторной выборки :

= t * (2 / n ) * (1 - (n / N)) ,

где n = 100; N = 5000;

= 3 * 468 / 100 * (1 - (100 / 5000)) = 3 * 4,68 * 0,98 = 6,42 г.

тогда : 208 - 6,42 < Х < 208 + 6,42

201,58 < Х < 214,42

Задача №4

Имеются данные об урожайности нового сорта пшеницы из ферм области (таблица 4).

Таблица 4.

Для анализа динамики урожайности пшеницы вычислите:

Абсолютный прирост, темпы роста и прироста по годам и к 2004 году; абсолютное содержание 1% прироста (полученные данные представьте в виде таблицы);

Среднегодовой темп роста и прироста урожайности:

а) с 1999 по 2005 гг.;

б) с 2004 по 2007 гг.;

в) с 1999 по 2007 гг.

Постройте график динамики урожайности пшеницы. Сделайте выводы.

Решение:

Абсолютный прирост (i) определяется как разность между двумя уровнями ряда и показывает насколько данный уровень превосходит уровень, принятый за базу.

Базисный прирост: = у i - у б

где у б = 40 ц\га; примем за базисный год - 2004 г.

90 = 35 - 40 = -5 ц\га

97 = 39 - 40 = -1 ц\га

98 = 40 - 40 = 0 ц\га

99 = 42 - 40 = 2 ц\га

Цепной прирост: = у i - у i-1

96 = 40 - 35 = 5 ц\га

97 = 39 - 40 = -1 ц\га

98 = 40 - 39 = 1 ц\га

99 = 42 - 40 = 2 ц\га

Темп роста определяется делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень или базовый, определяется в %.

Цепной:

Т = (уi / уi-1 ) * 100 %;

Т96 = (40 / 35) * 100% = 114,3%;

Т97 = (39 / 40) * 100% = 97,5 %;

Т98 = (40 / 39) * 100% = 102,6%;

Т99 = (42 / 40) * 100% = 105%;

Базисный

Т = (у i / у б ) * 100 %;

Т90 = (35 / 40) * 100% = 87,5%;

Т97 = (39 / 40) * 100% = 97,5%;

Т98 = (40 / 40) * 100% = 100%;

Т99 = (42 / 40) * 100% = 105%;

Темпы прироста: Тпр = Тпр - 100%;

Цепной:

Тпр96 = 114,3 - 100 = 14,3%

Тпр97 = 97,5 - 100 = -2,5%

Тпр98 = 102,6 - 100 = 2,6%

Тпр99 = 105 - 100 = 5%

Базисный:

Тпр90 = 87,5 - 100 = -12,5%

Тпр97 = 97,5 - 100 = -2,5%

Тпр98 = 100 - 100 = 0%

Тпр99 = 105 - 100 = 5%

Для того, чтобы правильно оценить значение полученного темпа роста его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.

Результат выражают показателем, который называется абсолютным значением 1% прироста:

Аi = i / Тпрi или Аi = 0,01 * уi-1

А96 = 35 * 0,01 = 0,35;

А97 = 40 * 0,01 = 0,4;

А98 = 39 * 0,01= 0,39;

А99 = 40 * 0,01 = 0,4;

Расчетные данные представим в виде таблицы 4.1.

Среднегодовые темпы роста и прироста урожайности:

с 1999 по 2005 гг.;

с 2004 по 2007 гг.;

с 1999 по 2007 гг.;

Т = n-1 уn / уi ,

где n - количество значений

с 1999 по 2005 (n = 8)

Т = 8-1 39 / 35 = 7 39 / 35 = 1,02;

c 2004 по 2007 (n = 4)

Т = 4-1 42 / 40 = 3 42 / 40 = 1,02;

c 1999 по 2007 (n = 10)

Т = 10-1 42 / 35 = 9 42 / 35 = 1,02;

Темп прироста: Тпр = Тр - 1 (%) ,

1999 - 2005 гг. Тпр = (1,02 - 1) * 100 = 2%;

1969 - 2007 гг. Тпр = (1,02 - 1) * 100 = 2%;

1999 - 2007 гг. Тпр = (1,02 - 1) * 100 = 2%;

Вывод: график динамики урожайности имеет тенденцию к росту. Объем бытовых услуг в 2007 г. по сравнению с 1999 г. повысился на 42 - 35 = 7 ц\га.

Задача №5

В таблице 5 представлены данные о выработке тканей на ткацкой фабрике.

Таблица 5.

Определить на основе индексного метода абсолютное изменение стоимости продукции, в том числе за счет изменения оптовых цен и количества произведенных тканей.

Решение:

Общий индекс стоимости рассчитывается по формуле:

Iz = q1 * z1 / q1 * z0 ,

где q1, q0 - количество продукции данного вида соответственно в отчетном и базисном периоде;

z1, z0 - стоимости единицы продукции соответственно в отчетном и базисном периоде.

Iz = (5400 * 14 + 4200 * 20) / (5400 * 15 + 4200 * 24) = 159600 / 181800 = 0,878;

Iz = 0,878 * 100 = 87,8%;

Общая стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 12,2%.

Разность между числителем и знаменателем агрегатных индексов характеризует в абсолютном выражении изменение сложного показателя:

q1 * z1 - q1 * z0 = 159600 - 181800 = -22200 гр.

Общая стоимость продукции снизилась на 22200 гр.

Для выявления влияния факторов на изменение стоимости продукции строится общий индекс физического объема (количества) продукции.

Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:

Iq = q1 * z0 / q 0 * z0

Iq = (5400 * 15 + 4200 * 24) / (5000 * 15 + 3800 * 24) = 181800 / 166200 = 1,094 109,4 %

Физический объем продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 9,4% или на 15600 гр.

q1 * z1 - q0 * z0 = 181800 - 166200 = 15600 гр.

Задача №6

Имеются следующие данные по заводам города (таблица 6)

Таблица 6

Определить:

индексы производительности труда по каждому предприятию;

общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по 2 предприятиям вместе;

через взаимосвязь индексов - индекс структурных сдвигов.

Решение

Рассчитаем индексы производительности труда по каждому предприятию

iq = q1 / q0 ,

iq = 58000 / 50800 = 1,14;

iq = 42600 / 40500 = 1,05;

Рассчитаем общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по двум предприятиям вместе

Iz пер. состава = ((z1 * q1) / q1) / ((z0 * q0) / q0);

Iz пер. состава = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((7600*50800)+(8000*40500)) / (7600+8000)) = 50658,1 / 45518 = 1,11;

Iz пост. состава = ((z1 * q1) / q1) / ((z0 * q1) / q1);

Iz пост. состава = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((9000*50800)+(8200*40500)) / (9000+8200)) = 50658,1 / 45889,5 = 1,10;

Рассчитаем индекс структурных сдвигов через взаимосвязь индексов

Iz = Iz * Iстр. сдвигов ,

Iстр. сдвигов = Iz / Iz ,

Iстр. сдвигов = 1,11 / 1,10 = 1,009;

Задача №7

По исходным данным задачи 1 для изучения тесноты связи между себестоимостью продукции и объемом производства вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Используя данные задачи №1, примем объем производства за «у», а себестоимость единицы продукции за - «х».

Тогда для оценки параметров линейного уравнения регрессии создают систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

у = n * b0 + b1 * x

уx = b0 x + b1 * x2

Расчетные данные для решения системы нормальных уравнений приведены в таблице 1.

Подставив значения переменных из таблицы, получим систему уравнений:

199 = 22 * b0 + b1 * 6920

56160 = 6920* b0 + b1 * 2305600

После решения системы уравнений имеем:

у = 24,8 - 0,05х

Таблица 7

При увеличении объема производства, себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 0,05 гр. На основании уравнения регрессии вычисляем теоретическое значение «у» для всех элементов совокупности.

Например:

у1 = 24,8 - 0,05 * 240 = 12,8;

Коэффициент корреляции определяем по формуле:

r = (n * уx - x * у) / (n * х2 - ( x)2 ) * (n * у2 - ( у)2 )

где х - факторный признак;

у - результативный признак;

n - 22 шт.

Подставим значения из таблицы 7 получим, что коэффициент корреляции :

r = (22 * 56160 - 6920 * 199) / (22 * 2305600 - 47886400) * (22 * 2195 - 39601) = -0,9;

Значение коэффициента корреляции отрицательное (-0,9), следовательно, зависимость - обратно пропорциональная.

Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее корреляционная зависимость.

-1 < r < 1

В нашем случае r = -0,9 - это свидетельствует о достаточно тесной зависимости факторного и результативного признаков.

Литература

Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 310 с.

Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2006. - 280 с.

Практика по теории статистики. Под ред. Проф. Шмойловой Л.А. М.: Финансы и статистика, 2007.