|
Сетевое планированиеСетевое планирование14 Содержание
На рисунке 1 представлена сетевая модель, соответствующая данному упорядочению работ. Каждому событию присвоен номер, что позволяет в дальнейшем использовать не названия работ, а их коды (см. табл.1). Численные значения временных параметров работ сети представлены в табл.2. Таблица 1 Описание сетевой модели с помощью кодирования работ
A F 9 12 C 6 I D B 11 5 10 J 14 G E 3 H 16 15 Рис.1 Сетевая модель Таблица 2 Временные параметры работ
Допустим, что организация, выполняющая проект, имеет в распоряжении только N = 11 исполнителей. Но в соответствии с графиком загрузки (рис.2), в течение интервала времени с 3 по 16 день для выполнения проекта требуется работа одновременно 41, 39 и затем 40 человек. Таким образом, возникает необходимость снижения максимального количества одновременно занятых исполнителей с 41 до 15 человек. Проанализируем возможность уменьшения загрузки (41 человек) в течение 5 дня. Используя Rc (5,6) = 5, сдвинем работу (5,7) на 1 день, что снизит загрузку 5-го дня до 2 человек, но при этом в 11 день появится пик - 42 исполнителя. Для его устранения достаточно сдвинуть работу (6,7) на 1 день, используя Rc (6,7) = 1. 15 16 14 12 11 10 9 3 6 7,8 3 6,7 1 5,7 7 5,6 5 4,6 2 3,5 3 2,4 8 1,7 5 1,3 4 1,2 6 Рис.2 Графики загрузки (а) и привязки (b) до оптимизации. Проанализируем возможность уменьшения загрузки (38 человек) с 7-го по 12 день, т.е. в течение интервала времени в 6 дней. Так работа (2,4) является единственной, которую можно сдвинуть таким образом, чтобы она не выполнялась в указанные 6 дней с 7-го по 12 день. Для этого, используя Rп (2,4) = 8, сдвинем работу Tу (i,j) на 4 дня, после чего она будет начинаться уже не в 6-й, а в 10 день, к чему мы и стремились. Но поскольку Rс (2,4) = 0 и для сдвига работы Tн (i,j) был использован полный резерв, то это влечет за собой обязательный сдвиг на 7 дней работы (6,7), следующей за работой (2,4). В результате произведенных сдвигов максимальная загрузка сетевой модели уменьшилась с 41 до 15 человек, что и являлось целью проводимой оптимизации. Окончательные изменения в графиках привязки и загрузки показаны на рис.3 пунктирной линией. Проведенная оптимизация продемонстрировала следующее различие использования свободных и полных резервов работ. Так, сдвиг работы на время в пределах ее свободного резерва не меняет моменты начала последующих за ней работ. В тоже время сдвиг работы на время, которое находится в пределах ее полного резерва, но при этом превышает ее свободный резерв, влечет сдвиг последующих за ней работ. 15 16 14 12 11 10 9 3 6 7,8 3 6,7 1 5,7 7 5,6 5 4,6 2 3,5 3 2,4 8 1,7 5 1,3 4 1,2 6 Рис.3 Графики загрузки (а) и привязки (b) после оптимизации. Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммойОпределите оптимальные стратегии и цену игры. Для 1) - в чистых стратегиях, для 2) - в смешанных.1) 2) Таблица 5
Решение Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а1 = 1; а2 = 1; а3 = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично = 5; = 8; = 9; = 3 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры , (1; 1; 2) = 2 (наибольшее число в столбце ) и верхняя цена игры , (5; 8; 9; 3) = 3 (наименьшее число в строке ). Эти значения не равны, т.е. , и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет. И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии. Пусть игра задана платежной матрицей Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок В чистую стратегию В1 (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v: Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В2, т.е. . Учитывая, что получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*A и цены игры v: Решая эту систему, получим оптимальную стратегию и цену игры Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е. Тогда оптимальная стратегия () определяется формулами: Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше. Игра задана платежной матрицей без седловой точки: Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях: для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при В1 и В2) для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при А1 и А2). Системы уравнений приведенные выше в данном случае имеют вид: Решая эти системы, получаем v = 0. Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью -3 и 4 при этом средний выигрыш равен 0. Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой. Определите оптимальные стратегии и цену игры. Для 1) - в чистых стратегиях, для 2) - в смешанных. 1) 2) Таблица 5
Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а1 = 2; а2 = 2; а3 = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично = 3; = 5; = 4; = 6 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры , (2; 2; 2) = 2 (наибольшее число в столбце ) и верхняя цена игры , (3; 5; 4; 6) = 3 (наименьшее число в строке ). Эти значения не равны, т.е. , и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет. И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии. Пусть игра задана платежной матрицей Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок В чистую стратегию В1 (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v: Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В2, т.е. . Учитывая, что получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*A и цены игры v: Решая эту систему, получим оптимальную стратегию и цену игры Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е. Тогда оптимальная стратегия () определяется формулами: Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше. Игра задана платежной матрицей без седловой точки: Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях: для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при В1 и В2) для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при А1 и А2). Системы уравнений приведенные выше в данном случае имеют вид: Решая эти системы, получаем v = 0. Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью -1 и 2 при этом средний выигрыш равен 0. |
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ©2011 |
